Binomische Formeln

von: Benjamin Kattnig | 22.08.2017



Erklärungen
Binomische Formeln sind nichts anderes als Formeln, die es vereinfachen, einen Term zu quadrieren. Ein Beispiel: Den Term (2 + x) * (2 + x) bzw. (2 + x)2 können wir wie folgt "händisch" ausrechnen:
(2 + x) * (2 + x) = (2 * 2) + (2 * x) + (x * 2) + (x * x) = 4 + 2x + 2x + x2 = 4 + 4x + x2
Aber es fällt auf: Die beiden Terme in der Mitte (2*x) sind identisch, und außerdem sind der erste und der letzte Term nichts anderes als Quadrate. Also hat man Formeln aufgestellt, die genau das ausrechnen und immer angewendet werden können, wenn wir einen Term quadrieren.
Binomische Formeln
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2- 2ab + b2
(a + b) * (a - b) = a2- b2

Die dritte Binomische Formel beschäftigt sich zwar nicht mit der Quadrierung eines Termes, aber dafür mit zwei Termen, die sich nur um ein Rechenzeichen unterscheiden.
Noch etwas wichtiges: Wenn ein Quadrat oder generell eine Potenz quadriert wird, verdoppelt sich deren Hochzahl , zB: (3²)² = 9⁴ oder (2⁴)² = 4⁸. Würden wir eine Potenz hoch drei rechnen, so müssten wir deren Hochzahl verdreifachen usw. Mehr dazu im Kapitel über Potenzen und Wurzeln.

Beispiele

(x + 3)2 = x2 + 2*3x + 32 = x2 + 6x + 9

(2x + 5y)2 = (2x)2 + (2*2x*5y) + (5y)2 = 4x2 + 20xy + 25y2

(0.5x + 2.3y) * (0.5x - 2.3y) = (0.5x)2 - (2.3y)2 = 0.25x2 - 5.29y2

Weitere Binomische Formeln
Wenn wir einen Term jedoch nicht bloß quadrieren, sondern "hoch 3" rechnen wollen, brauchen wir noch weitere Binomische Formeln:
Weitere Binomische Formeln
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

Übungen



Wie lauten die Ergebnisse?

1. (6x - 0.5)2

Lösung

2. (2c + 1) * (2c - 1)

Lösung

3. (3f2 + 2.5d)2

Lösung

4. (2g⁴ + 4g³)²

Lösung


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