Differentialrechnung

von: Benjamin Kattnig | 11. 09.2017



Einleitung
Die Differentialrechnung beschäftigt sich mit einer simplen Frage: Wie berechnet man die Steigung einer nichtlinearen Funktion, also einer Kurve? Und geht dies überhaupt, und wenn ja, unter welchen Umständen? Bei einer linearen Funktion könnten wir dafür einfach den Differenzenquotienten heranziehen. Aber bei einer Kurve? Das Problem ist, dass die Steigung bei jedem Punkt anders ist. Erklärung: Nehmen wir die Quadratische Funktion her. Bei x = 2 ist f(x) 4. Bei x = 3 ist f(x) = 9. Mit dem Differenzenquotienten kämen wir auf eine Steigung von 5. Aber bei x = 10 und x = 11 ist der Differenzenquotient viel größer, nämlich 21! Allerdings wären sogar zwischen 10 und 10,5 andere Ergebsisse wie zwischen 10,5 und 11. Und auch die Steigung von x = 10,001 bis x = 10,002 ist eine andere wie die zwischen 10,002 und 10,003. usw. Das bedeutet: Für jeden x-Punkt gibt es eine eigene Steigung. Und diese Steigung berechnen wir nicht mit dem Differenzenquotient, sondern mit dem Differentialquotienten. Allerdings sind nicht alle Funktionen an allen Stellen differenzierbar. Das bedeutet, dass wir nicht an allen Stellen mancher Funktionen die Steigung feststellen können. Das ist etwa dann der Fall, wenn die Funktion einen "Knick" hat.

Der Limes, die Differenzierbarkeit und der Differentialquotient
Um festzustellen, ob wir eine Funktion an einer gewissen Stelle nun differenzieren können (man kann auch sagen: "ableiten"), schauen wir, ob ein "sinnvolles" (also zB. nicht 1:0) Ergebnis im Differentialquotienten herauskommt. Mit anderen Worten: Ob überhaupt ein Limes, ein Grenzwert, existiert. Übrigens hat man, falls die Funktion an der gesuchten Stelle, an der wir die Steigung berechnen wollen, nun differenzierbar ist, mit dem Differentialquotienten auch schon das Ergebnis. Nur gibt es für den Alltag einige, wesentlich schnellere Formeln (Gleich darunter). Was der Limes (abgekürzt: lim) genau ist, und wie er funktioniert, wird nun genau erklärt:
Differentialquotient
limΔx -> 0 = f(x + Δx) - f(x) / (x + Δx) - x
Vereinfacht: limΔx -> 0 = f(x + Δx) - f(x) / Δx
Mit Worten: Der Limes von einem Delta X, dass nach 0 strebt, ist f(x + Δx) - f(x) dividiert durch Δx

Moment: Was heißt das alles? Was ist Delta X, was der Limes? Hier kommt die Erklärung:



Dieses Bild ist unglaublich wichtig, um Differentialrechnung zu verstehen. Das Rote ist eine beliebige Funktion, eine Kurve. Rot gestrichelt ist der x-Wert, in diesem Fall zwei. Der y-Wert/ f(x)-Wert ist gelb gestrichelt. Δx ist - wie beim Differenzenquotienten - 1 lang. Das, was beim Differenzenquotienten das k wäre (bzw. Δy, so kann es auch hier bezeichnet werden) ist "f(x + Δx) - f(x)". Logisch, denn f(x + Δx) ist ja nur die "gesamte Höhe", wir sehen sie auch in der geschweiften Klammer, von der wir nur f(x) abziehen (das gelbe), sodass nur der wichtige blaue Teil übrigbleibt. Wenn wir diesen nun, wie es die obige Formel - der Differentialquotient - angibt, durch Δx dividieren, so erhalten wir einen guten Schätzwert. Genau ist es auf alle Fälle nicht, denn unser Δx ist ja ganze 1 lang. Bei einer linearen Funktion wäre das egal, denn dort ist die Steigung überall gleich. Aber wie schon die Form der Kurve zeigt, ist dies hier nicht so.

Je kleiner allerdings - das ist der springende Punkt, für den wir den Limes brauchen werden - unser x wird, desto genauer wird die Ableitung, also die Differenzierung, die Steigung am Punkt 2 eben. Aber für genau Mathematiker wäre selbst ein Abstand von 0,1 noch viel zu ungenau. Im Grunde müssen wir das Δx "unendlich klein" machen. "Unendlich klein" ist jedoch mathematisch völlig falsch ausgedrückt. Wir sagen "infinitesimal klein". Das heißt, dass es so klein ist, dass es kleiner als alles andere ist, aber dennoch eine relle Größe hat. Eine, die für den Alltag praktisch "unendlich klein" ist. (Neben der Integralrechnung ist die Differentialrechnung Bestandteil der Infinitesimalrechnung, die daher ihren Namen hat).

Das macht nun der Limes: Wir sagen, dass, je weiter wir Δx 0 annähern, desto mehr wird es 0. Wir ersetzen es quasi durch 0 und können so perfekt weiterrechnen. Der Limes ist der Grenzwert, bis zu sich unsere Gleichung entwickeln wird, wenn Δx gegen 0 strebt. Klingt kompliziert, ist es aber überhaupt nicht:



Beispiel: Nehmen wir die Funktion f(x) = 2x² her und fragen wir uns, ob sie 1. an der Stelle x = 5 differenzierbar ist, und wenn ja, was ihre dortige Ableitung ("Steigung") ist.

Setzen wir in den Differentialquotienten ein: (f(x + Δx) - f(x)) / Δx =
(2(x + Δx)² - 2(x)²) / Δx
(2x² + 4*Δx*x + 2*Δx² - 2x²) / Δx
(4*Δx*x + 2*Δx²) / Δx
4x + 2Δx

Nun kommt der Limes ins Spiel: Lassen wir nun das Δx gegen 0 laufen

limΔx -> 0 = 4x + 2*Δx = 4x

Nun steht nur mehr da: 4x. Perfekt! Nun, da dass ein reller Term ist, können wir hier differnzieren. Die Differenzierbarkeit wurde bewiesen, wir können nun jeden beliebigen x-Wert einsetzen und schon haben wir die Ableitung! Setzen wir also 5 ein, so steht da: 20. Etwas professioneller: Die Steigung an der Stelle x = 5 der Funktion f(x) = 2x² beträgt 20. Oder: Die Ableitung an der Stelle x = 5 der Funktion f(x) = 2x² beträgt 20.

Einfachere Berechnung
Für eine schnellere Ableitung einfacher Funktionsgleichungen nehmen wir folgende Formeln her. Wichtig: f '(x) ist stets die Ableitung.
Potenzfunktionen
Wenn f(x) = xn ist, dann ist
f '(x) = n*xn-1

Zum Beispiel: f(x) = x²
f '(x) = 2*x1 = 2x
Nehmen wir eine beliebige Stelle her, zB. x = 5: f '(5) = 2*5 = 10.

f(x) = 4x³
f '(x) = 4*3*x² = 12x²
Bei der Stelle x = 3: f '(3) = 108.

Lineare Funktionen
Wenn f(x) = kx + d ist, dann ist
f '(x) = k

Zum Beispiel: f(x) = 10x + 4
f '(x) = 10*x0 = 10
Nehmen wir eine beliebige Stelle her, überall kommt zehn heraus, da die Ableitung eine Waagrechte mit x = 10 im Koordinatensystem ist.
Wichtig: Das d fällt weg. Überhaupt fallen alle einzelnen Zahlen ohne ein x, also alle, die keine Koeffizienten sind, weg.

Exponentialfunktionen
Wenn f(x) = nx ist, dann ist
f '(x) = nx * ln(n)

Eulersche Funktion
Wenn f(x) = ex ist, dann ist
f '(x) = ex

e ist die Eulersche Zahl. Sie ist, wie π, eine transzendente, irrationale Zahl und beträgt etwa 2,71. Das besondere an ihr ist, dass sie bzw. sie hoch irgendeine Potenz stets gleich ihrer Ableitung ist.

Weitere Regeln


Nun braucht es allerdings noch weitere Formeln, denn was, wenn wir eine Funktionsgleichung der Form f(x) = 2x³ + 7x² haben? Hier brauchen wir die sogenannte Summenregel. Es gibt auch noch weitere Regeln. Dabei gilt: a' ist jeweils die Ableitung vom Term a.
Summenregel
f(x) = a + b
f '(x) = a' + b'

Subtraktionsregel
f(x) = a - b
f '(x) = a' - b'

Produktregel
f(x) = a * b
f '(x) = a' * b + a * b'




Graphisch

Wenn wir die Ableitung als Gerade in den Funktionsgraphen einzeichnen wollen, so erhalten wir eine Tangente. In diesem Falle ist das eine Linie, die den Funktionsgraphen nur an einem einzigen Punkt - unserer Stelle - berührt. So sehen ein paar Tangenten der Funktion f(x) = x² in einer andeutenden Skizze aus:

Übrigens ist es nun auch einfacher zu verstehen, weshalb wir an manchen Stellen (da, wo die Funktion einen "Knick" hat, oder wo sie aufhört und eine Lücke hat, oder wo sie nicht definiert ist, wie zB. f(x) = 1:x an der Stelle x=0), nicht ableiten können. Denn an solchen Stellen könnten wir entweder mehrere Tangenten - und damit mehrere Ableitungen -, oder gar keine Ableitungstangenten einzeichnen.

Wenn wir mithilfe der Differentialrechnung die Funktionsgleichung einer Tangente berechnen wollen, so errechnen wir das k einfach durch den Differentialquotienten oder einfach mit der Formel. Nehmen wir an, wir haben die Funktionsgleichung f(x) = x² + 5. Wir wollen die Funktionsgleichung der Tangente an der Stelle x = 3,5. Leiten wir ab: f '(x) = n*xn-1 = 2x. Setzen wir nun in x = 3,5 ein. Wir erhalten 7. Das ist nun das k.

Für das d berechnen wir als Erstes den normalen y-Wert (bzw. f(x) - Wert) an der Stelle x = 3: f(x) = 3² + 5. Wir erhalten 14. Der normale x-Wert ist ja 3. Setzen wir das in die Formel y = kx + d. Es steht da: 14 = k*3 + d. Da wir das k schon kennen, können wir es einsetzen, und so erhalten wir 14 = 7*3 + d. Formen wir um und es steht da: d = -7.

Jetzt kennen wir k und d. Damit lautet die Gleichung der Tangente: f(x) = 7x - 7.

Das nun war alles wichtige zum Thema Differentialrechnung. Hoffentlich war es verständlich.
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