Flächen und Umfänge

von: Benjamin Kattnig | zuletzt: 11. 09.2017



Einleitung
Dieses Kapitel soll erklären, wie Flächeninhalte und Umfänge verschiedener Formen berechnet werden können. Beginnen wir mit dem Rechteck und dem Quadrat.

Quadrat
Flächeninhalt
a * a bzw. a²
Umfang
4a

Ein Quadrat ist ein Rechteck mit überall gleichlangen Seiten.

Beispiel: a = 2,7cm
Fläche: 2,7² = 7,29
Umfang: 4 * 2,7 = 10,8



Rechteck
Flächeninhalt
a * bUmfang
2a + 2b

a und b sind die beiden Seiten des Rechtecks

Beispiel: a = 5cm, b = 2,5cm
Fläche: 5 * 2,5 = 12,5
Umfang: 2*5 + 2*2,5 = 15



Allgemeines Dreieck
Flächeninhalt
(c * hc) / 2 oder (a * ha) / 2 oder (a * ha) / 2
Umfang
a + b + c

a, b und c sind dabei die Seiten des Dreiecks und ha, hb und hc sind die dazugehörigen Höhen. Wir erhalten sie, indem wir in einem Rechten Winkel von der jeweiligen Seite "weggehen", bis wir die gegenüberliegende Ecke erreichen.

Beispiel: a = 5cm, ha = 7cm
Fläche: (5 * 7) / 2 = 17,5cm²



Rechtwinkliges Dreieck
Flächeninhalt
(a * b) / 2Umfang
a + b + c

a, b und c sind dabei die beiden Katheten des Dreiecks. Katheten sind die beiden Seiten, die den rechten Winkel im rechtw. Dreieck "berühren". Im Beispiel im Bild unten sieht man, weshalb die Formel (a * b) / 2 gilt. a * b macht den Flächeninhalt des Rechtecks mit gestrichelten Seiten aus, weil wir allerdings nur das Dreieck mit ausgezogenen Linien brauchen, halbieren wir den Flächeninhalt

Beispiel: a = 5cm, b = 2cm
Fläche: (5 * 2) / 2 = 5cm²



Kreis
Flächeninhalt
r² * π
Umfang
2r * π

π (Pi) ist dabei 3,1415926535..., eine transzendente Zahl. Damit endet sie nie hinter dem Komma, hat also unendlich viele Nachkommastellen.
r ist dabei der Radius des Kreises. Wichtig ist, dass der Radius genau die Hälfte des Durchmessers (d) eines Kreises ausmacht.

Beispiel: r = 5cm. Umfang: 2r * π = 2*5*3,14159 = 31,416
Fläche: r² * π = 5² * 3,14159 = 78,539



Parallelogramm

Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem jeweils zwei gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sind. (Wie ein verzerrtes Rechteck)

Flächeninhalt
a * ha
Umfang
2a + 2b

ha ist die Höhe auf a. Das ist nichts anderes, als die Strecke, die sich ergibt, wenn man in einem rechten Winkel von der Seite a so lange "nach oben geht", bis man auf die gegenüberliegende Seite trifft. Mit anderen Worten: Die kürzestmögliche Verbindung dieser zwei gegenüberliegenden Seiten. Oder: Der Abstand von a zum (anderen) a





Rhombus/ Raute

Ein Rhombus (= Raute) ist auch ein Parallelogramm, allerdings sind hier zusätzlich alle Seiten gleich lang. (Wie ein verzerrtes Quadrat)

Flächeninhalt
a * ha
Umfang
4a

ha ist die Höhe auf a. Das ist nichts anderes, als die Strecke, die sich ergibt, wenn man in einem rechten Winkel von der Seite a so lange "nach oben geht", bis man auf die gegenüberliegende Seite trifft. Mit anderen Worten: Die kürzestmögliche Verbindung dieser zwei gegenüberliegenden Seiten. Oder: Der Abstand von a zum (anderen) a



Deltoid

Ein Deltoid ist ein Viereck, das aussieht wie ein Flugdrache. Daher kann es auch als Drachenviereck bezeichnet werden. Die beiden oberen Seiten sind gleichlang und die beiden unteren Seiten sind gleichlang. Außerdem sind die "beiden Winkel rechts und links" (vereinfachend gesagt) gleich groß (siehe Bild).

Flächeninhalt
(e * f) / 2
Umfang
2a + 2b

e und f sind die beiden Diagonalen des Deltoids. Sie schneiden sich in einem rechten Winkel.



Trapez

Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten zueinander parallel sind.

Flächeninhalt
((a + c) * h) / 2
Umfang
a + b + c + d

a, b, c und d sind die Seiten und h die Höhe auf a.



Unregelmäßige Formen
Der Flächeninhalt unregelmäßiger Formen kann einfach berechnet werden, indem die Form in andere regelmäßige Dreiecke und Vierecke zerteilt wird und deren Flächeninhalte addiert werden.

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