Lineare Funktionen

von: Benjamin Kattnig | 23.08.2017



Einleitung
Funktionen gehören zu den größten aller Kapitel der Mathematik. Sie beschreiben nichts anderes, als einen Zusammenhang, ein Verhältnis beziehungsweise eine Abhängigkeit zweier Werte zueinander. Diese Abhängigkeit ist das Ausmaß der Änderung eines Wertes, wenn ein anderer ansteigt. Das kann man verbal, graphisch, als Term oder in einer Tabelle darstellen. Ein Beispiel:

Verbal: Je mehr Äpfel ein Bauer verkauft, desto mehr Geld nimmt er ein. Und zwar 50 Cent pro Apfel.

Termdarstellung: y = 0,5 * x , wobei y die Einnahmen in Euro sind und x die Anzahl der Äpfel.

Tabelle:
Äpfel1       2        3       4        ...
Euro0,511,52...


Graphisch:



Lineare Funktionen
Lineare Funktionen sind die einfachsten Funktionen. Sie beschreiben eine direkte Proportionalität, also einen direkten Zusammenhang. Wenn Wert A 5 beträgt, dann beträgt Wert B 10, also das Doppelte, wäre ein Beispiel. Schreiben wir das doch mal als Funktionsgleichung auf: B = 2 * A. Wenn wir jetzt für A 5 einsetzen, so ergibt B gleich 2 * 5, also 10. Wir haben also einen unabhängigen Wert (A), denn wir können jede beliebige Zahl für A einsetzen. Und B ist unsere abhängige Variable, denn, je nachdem wie sich A ändert, ändert sich sich auch - um einen bestimmten Faktor anders allerdings. In dem Fall um 2 * A, also ist unser Faktor 2. Nennen wir den Faktor doch einfach "k", unsere unabhängige Variable "x" und unsere abhängige variable "y". Dann steht da, in einer allgemeinen Form: y = k * x. Einfach, oder? Je größer das k nun ist, desto schneller nun wächst das y, da es ja nur x mal das große k ist.
Allerdings ist das noch nicht alles. Es kann sein, dass unser y zusätzlich noch einen - von x unabhängigen! - "Startbonus" bekommt. Nennen wir den einfach "d". Dann steht da: y = k*x + d. d wir einfach immer noch dem y hinzugerechnet, völlig egal, wie groß x gerade ist. Das ist so, wie wenn y für das Gewicht eines Kartons mit Gegenständen darin steht. Dann steht das d für das Gewicht des leeren Kartons (0,5kg), und x für die Anzahl von Gegenständen, die im Karton liegen. Und da jeder Gegenstand 3kg wiegt, ist unser k 3. Nun steht da: y = 3*x + 0,5kg. Oder in Worten: Das Gewicht des vollen Kartons ist 3kg mal jedem Gegenstand und 0,5kg extra für den Karton.
Das praktische an einer solchen Funktion ist, dass wir nun einfach für x zB. 7 einsetzen können, wenn wir wissen wollen, wie viel der Karton bei 7 Gegenständen wiegt. Dann rechnen wir y = 3*7 + 0,5 = 21,5kg. Übrigens können wir statt y auch "f(x)" ("f abhängig von x" oder "f von x") schreiben. Das bedeutet das gleiche, ist aber eindeutig, denn wir wissen sofort, das sich unser f(x) auf die Variable x bezieht.
Das war alle wichtigen Basics, die man über Funktionen wissen muss.

Versuchen wir nun, das alles graphisch mit einem Funktionsgraphen darzustellen. (Übrigens kannst du in unserem Funktionszeichner jede beliebige Funktion anzeigen lassen). Nehmen wir einfach mal die lineare Funktione f(x) bzw. y = 0,5*x + 1 her. So sieht der Graph (= "Spur" im Koordinatensystem) aus:


Es fällt klar auf, dass der Graph eine Gerade ist. Bei Linearen Funktionen mit y = kx + d ist dies immer der Fall. Den Wert k kann man auch Steigung nennen, weil er angibt, wie stark (wenn k groß ist) bzw. wie schwach (wenn k klein ist) die Funktion ansteigt. Wird k negativ, so fällt die Funktion und "zeigt" nach unten. Der Wert d ist nichts anderes als der Abstand zwichen dem Ursprung (der Punkt, an dem sich die x-Achse und die y-Achse schneiden) und dem Punkt an dem der Graph die y-Achse schneidet. Im Beispiel ist das bei y = 1. Logisch, dass daher das d = 1 ist.

Steigungsdreieck und Differenzenqoutient
Wenn wir eine graphische Funktion vor uns haben und uns die Funktionsgleichung herleiten wollen, so können wir dies auf zwei Arten tun. Beginnen wir mit der "ungenauen" - der graphischen Methode mit dem Steigungsdreieck, und gehen wir danach zur genauen durch den Differenzenquotienten, die rechnerisch erfolgt.

Wir können das Steigungsdreieck - wie es die Abbildung zeigt - in jede Lineare Funktion einzeichnen. Dabei gehen wir von einem beliebigen Punkt um eine x-Werteinheit nach rechts (orange) und messen den y-Abstand, den wir erhalten, wenn wir von unserem Punkt aus senkrecht nach oben bzw. unten "gehen" (weiß). Dies ist nichts anderes als das k. Unser d ist die Strecke vom Koordinatenursprung bis zu dem Punkt, an dem der Funktionsgraph die y-Achse schneidet (grün). So können wir uns nun die Funktionsgleichung "rekonstruiren": y = kx + d, da d = 1 und k = 0,5 gilt y = 0,5x + 1.

Wenn wir die Funktionsgleichung durch Rechnen herbeileiten wollen und nur den Graphen kennen, machen wir folgendes: Für das k verwenden wir den Differenzenquotienten. Der heißt so, weil er ein Quotient einer Differenz ist.
Der Differenzenquotient
k = Δy / Δx = ( y2 - y1) / (x2 - x1)

Sieht kompliziert aus, ist es auch. Mehr oder weniger. Also: k = Δy / Δx hat eigentlich noch nichts mit dem Differenzenquotienten zu tun, denn wir können auch allein damit die Steigung k berechnen, wobei Δx ("Delta x") nur der (oben orangene) Bereich ist, den wir ab jetzt frei wählen dürfen und so zB. auch 2 Werteinheiten lang machen können. Δy ist dann der zugehörige, immer noch abgemessene y-Wert (oben weiß). Wenn wir jetzt aber nur noch völlig rechnen wollen, wobei wir zum springenden Punkt kommen, berechnen wir uns Δx und Δy durch zwei Punkte, die auf dem Graphen liegen, und deren Koordinaten wir kennen. Nennen wir sie A und B. A hat die Koordinaten A(x1 | y1) und B(x2 | y2). Das setzen wir dann in die Formel ein und fertig. Das Bild veranschaulicht, warum das so funktioniert.

Denn wenn wir Grün minus orange (also x2 minus x1) rechnen, bleibt noch genau Δx, das rote Stückchen übrig! Und wenn wir blau minus gelb (also y2 minus y1) rechnen, bleibt noch das violette Stückchen, also Δy übrig. Und wenn wir eben den Quotient aus diesen Differenzen nehmen, so haben wir k. Verstanden? Hoffentlich... Dann bleibt jetzt noch eine Frage offen: Wie berechnet man das d, wenn man das k und zwei Punkte einer Funktion kennt? Ganz einfach: Wir brauchen sogar nur einen Punkt. Den setzen wir in die Funktionsgleichung ein, und errechnen das d. Beispiel: Wir kennen den Punkt F(4 | 6) und das k haben wir zuvor ausgerecjnet; es beträgt 2. Dann setzen wir in y = kx + d das k ein, sodass y = 2x + d dasteht, und dann den x-Wert des Punktes ins x, und den y-Wert des Punktes ins y. Dann steht da: 6 = 2*4 + d. Jetzt formen wir um, und erhaltend d = 2. Daher lautet die gesamte Funktionsgleichung y = 2x + 2.

Übungen



Berechne das k durch den Differenzenquotienten.

1. Punkt F(3 | 2) und Punkt C(5 | 4)

Lösung

2. Punkt Z(2,5 | 7) und Punkt K(3,5 | 9)

Lösung


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