Lineare Gleichungen

von: Benjamin Kattnig | 03.09.2017



Einleitung
Fangen wir ganz von vorne an: Eine simple Rechnung lautet zB. 5 + 3 = ?. Klar, dass die Lösung 8 ist. Alle einfachen "Rechnungen" sind von einer solchen Form. Aber was, wenn das, was wir ausrchnen wollen, nicht mehr nur auf einer Seite steht? Also zB: 5 + ? = 8. Alle Ausdrücke in der Mathematik, die eine solche Form haben, nennen wir Gleichungen. Und zwar deshalb, weil beide Seiten - links und rechts vom "=" - gleich groß sind. Dabei ist das ? unsere "Unbekannte" oder "Variable". Von nun an werden wir statt einem ? einen Kleinbuchstaben als Unbekannte einsetzen. Am häufigsten sind das x oder y, aber es sind alle Buchstaben möglich. Beispiele für Gleichungen sind also:
5 + x = 8
14 * z = 28
f / 3 = k * 3

Ausrechnen der Unbekannten
Nehmen wir die Gleichung 12 + a = 19. Eine solche Gleichung können wir durch reines Ausprobieren lösen. Wir erkennen sofort, dass die einzeige Lösung 7 ist. Aber bei komplizierteren Gleichungen brauchen wir ein System. Dies machen wir mit sogenannten Äquivalenzumformungen. Dabei "verschieben" wir einen Wert von einer Seite auf die andere, achten aber darauf, dass die Gleichung immer noch stimmt und auf beiden Seiten gleich groß sind. Wir machen das sooft, bis die Unbekannte allein auf einer Seite steht - dann handelt es sich sozusagen nur mehr um eine einfache Rechnung. Solche Umformungen nehmen wir vor, indem wir einen Querstrich ziehen und dort die Veränderung hinschreiben.
Beispiel:
x + 5 = 15     | -5
(x + 5) - 5 = (15) - 5
x = 10

Fertig! Versuchen wir das nun bei einer schwierigeren Gleichung.

3x - 10 = 5x + 4     | +10
3x = 5x + 14 | -5x
-2x = 14 | :(-2)
x = -7

Wichtig ist es, dass bei jeder Umformung ein "unnötig verkomplizierendes" Element wegfällt, wie oben zB. das -10.
Außerdem sollte man immer versuchen, alle x auf einer Seite zusammenzufassen.

-5x / 12 = 11 / -(2x + 10)       | *12
-5x = 132 / -(2x + 10)
-5x = 132 / (2x - 10)     (falls es nicht klar ist: Wenn ein Minus vor einer Klammer aufgelöst werden soll, so drehen sich alle Vorzeichen um, in diesem Fall wird das Plus zu einem Minus)
-5x = 132 / (2x - 10)      | *(2x - 10)
-5x * (2x - 10) = 132
-10x² + 50x = 132
Wie man eine solche Gleichung mit x² weiter löst wird in einem weiteren Kapitel erklärt.


Gleichungen mit x² oder mit 2 Variablen...
...werden in diesen Kapiteln (möglicherweise noch nicht verfügbar) erklärt:
Gleichungen mit 2 Variablen
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