Mengen

von: Benjamin Kattnig | 14. 09. 2017



Einleitung
Mengen sind in etwa so etwas wie "Zahlengruppen". Wir können Mengen einen Namen geben - üblich sind einfache Großbuchstaben - und sie mit anderen Mengen vergleichen. So schreiben wir eine Menge an: A = {1, 2, 3} oder auch A = {1; 2; 3}. Dies wäre eine Menge names A mit den Elementen 1, 2 und 3. Wenn wir sagen wollen, dass 2 ein Element der Menge A ist, so können wir das so hinschreiben: 2 ∈ A. Wollen wir das Gegenteil sagen, so schreiben wir zB. 4 ∉ A.

Teilmenge und Vereinigungsmenge
Wir haben folgende Mengen: A = {1, 2, 3} und B = {1, 2, 3, 4, 5}. A ist eine Teilmenge von B, weil sowohl 1 als auch 2 als auch 3 - also alle Elemente As - teil von B sind. Schreiben wir: A ⊆ B.
Nehmen wir die Menge C = {5, 6, 7, 8} hinzu. Eine Vereinigungsmengen sind "zwei Mengen zusammen". Allerdings gibt es hier niemals ein Element mehrmals, auch wenn es in beiden Mengen vorkommt. Schreiben wir: B ∪ C = {1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Schnittmenge und Differenzmenge
Die Schnittmenge ist die Menge, in der alle Elemente enthalten sind, die sowohl in A als auch in B enthalten sind. Schreiben wir: A ∩ B = {1, 2, 3}, weil 4 und 5 nur in B, aber nicht in A enthalten sind.
Wenn wir B / C schreiben, so meinen wir B ohne alle Elemente von C. Das ist {1, 2, 3, 4}, weil nur die 5 auch in C enthalten ist und entfernt werden muss.

Leere Menge und disjunkt
Die leere Menge ist {}. Sie hat keine Elemente. Eine andere Schreibweise ist ∅ Ein Beispiel: A ∩ C = {}, weil A und C keine gemeinsame Elemente haben.
Wollen wir dies anders ausdrücken, so können wir sagen, dass A disjunkt zu C ist.

Venn - Diagramme

Wir können solche Zusammenhänge graphische darstellen, am besten mit VENN - Diagrammen. Das sieht so aus:

Dabei steht dann A, B, C jeweils für ein Menge und zB. X für (A ∩ B) ∩ C oder E für (A ∪ C) / X



Zusammenfassung
Teilmenge: X ⊆ Y
Vereinigungsmenge: X ∪ Y
Schnittmenge: X ∩ Y
Differenzmenge: X / Y
Leere Menge: {} oder ∅

Übungen



Wahr oder Falsch?
K = {1, 2, 3, 4, 5}
L = {7, 8, 9}
M = {5, 6, 7}

1. (K ∩ L) ∪ M = {5, 6, 7}

Lösung

2. ((K ∪ L) ∩ M) / {5} = {6, 7}

Lösung


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