Zahlen

von: Benjamin Kattnig | 22.08.2017


Alles in der Mathematik basiert auf Zahlen. Sie sind nichts anderes als Angaben von Größen. Wir unterscheiden verschiedene "Zahlentypen", die eine unendliche Menge von Zahlen mit denselben Eigenschaften zusammenfasst. Beginnen wir mit den einfachsten und im Alltag am häufigsten verwendeten: den Natürlichen Zahlen.

Natürliche Zahlen (ℕ)
Die Menge der Natürlichen Zahlen besteht aus allen positiven ganzen Zahlen inklusive der Null, also: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ...
Damit haben die Natürlichen Zahlen zwar eine untere Grenze (die Null), aber keine obere. Das bedeutet, dass es keine größte natürliche Zahl gibt. Das "Zeichen" für die Natürlichen Zahlen ist: ℕ. Wir können auch ℕg für alle geraden natürlichen Zahlen und ℕu für alle ungeraden Natürlichen Zahlen schreiben. Wichtig: Die Natürlichen Zahlen sind die Addition und die Multiplikation betreffend abgeschlossen. Das heißt, dass irgendeine natürliche Zahl plus oder mal irgendeine Natürliche Zahl immer eine Natürliche Zahl ergibt, zum Beispiel: 5 + 17 = 22. Allerdings haben wir ein Problem, denn zum Beispiel 7 - 23 = keine natürliche Zahl oder 3 : 12 = keine natürliche Zahl. Deswegen brauchen wir einen neuen größeren "Zahlentyp"

Ganze Zahlen (ℤ)
Die ganzen Zahlen bestehen aus: ... -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ..., also allen natürlichen Zahlen plus alle ganzen negativen Zahlen. Damit haben die ganzen Zahlen keine Ober- oder Untergrenze. Wir können auch ℤ+ für alle positiven ganzen Zahlen (der Unterschied zu den Natürlichen Zahlen besteht darin, dass die Null hier nicht enthalten ist) oder ℤ- für alle negativen ganzen Zahlen (ohne der Null) schreiben. Damit sind die ganzen zahlen also auch gegenüber der Subtraktion abgeschlossen, da zB. -5 + 3 = -2 gilt. Allerdings sind manche Divisionen weiterhin nicht möglich.

Rationale Zahlen (ℚ)
Die rationalen Zahlen sind alle darstellbaren Zahlen außer jenen Kommzahlen, die aus Wurzeln entstanden sind und transzendenten Zahlen (mehr dazu gleich). Also könnten wir ℚ so darstellen: ℚ = { ...; -2,9999999; -2.9999998; -2,9999997; ... ; 0; ...; 2.9999997; 2.9999998; 2.9999999; 3; 3.0000001; ...}. Allerdings haben die rationalen Zahlen eine spezielle Eigenschaft: Wir können niemals einen genauen Nachfolger oder Vorgänger feststellen, da im Raum zwischen zwei rationalen Zahlen unendlich viele andere vorkommen. Die Menge der rationalen Zahlen scheint völlig unbegrenzt, denn sie besteht aus allen Bruchzahlen. Und da Bruchzahlen immer für eine Division stehen, sind die rationalen Zahlen gegenüber einer jeden Grundrechnungsart abgeschlossen. Wir können auch ℚ+ für alle positiven rationalen Zahlen und ℚ- für alle negativen rationalen Zahlen schreiben. Zahlen mit periodischen Nachkommastellen, zB. 0.3333333333333... sind auch rationale Zahlen, da wir sie in Bruchform schreiben können (0.33333... = 1/3). Aber Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen, die allerdings nicht periodisch sind, sind keine rationale Zahlen, sondern irrationale. Sehr viel Wurzeln sind irrational, und es gibt auch ganz wenige transzendente Zahlen (Pi und e), die keine Wurzel einer Zahl sind und trotzdem irrational sind.

Reelle Zahlen (ℝ)
Relle Zahlen sind nichts anderes als die rationalen und irrationalen Zahlen zusammen. Damit bilden die Reellen Zahlen vereinfacht gesagt alle Zahlen, die wir als Zahlen erkennen und mit Ziffern darstellen können. Die reellen Zahlen sind somit auch gegenüber dem Radizieren (= Wurzelziehen) abgeschlossen. Allerdings nur, wenn aus positiven Zahlen die Wurzel gezogen werden soll.

Komplexe Zahlen (ℂ)
Komplexe Zahlen sind die sogenannten Imaginären zahlen mit den rellen Zahlen kombiniert. Imaginäre Zahlen "entstehen", wenn wir die Wurzel aus negativen Zahlen ziehen wollen. Mit reellen Zahlen allein geht dies nicht. Den imaginären Zahlen zugrunde liegt das "imaginäre Element", kurz i. Es ist die Wurzel aus minus 1. i kann also keine reelle Zahl sein. Allerdings können wir nun so auch von anderen negativen Zahlen die Wurzel ziehen, zB. √-4 = √4*-1 = √4 * √-1 = 2i.

Wichtig
Den Zusammenhang zwischen diesen "Zahlentypen" kann man gut folgend darstellen:

Alle Natürlichen Zahlen sind ganze, rationale, reelle und komplexe Zahlen.
Alle ganzen Zahlen sind rationale, relle und komplexe Zahlen, aber nicht alle natürliche, usw.
Mathematisch: Die Natürlichen Zahlen sind eine Teilmenge der Ganzen Zahlen usw.
⊆ = Teilmenge

ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ ⊆ ℂ

Übungen



Zu welchem "Zahlentyp" gehört die Zahl x in den folgenden Gleichungen?

1. x² = -5
Lösung
2. x = π * 5
Lösung
3. x = 42,42
Lösung
4. -x = -(5 + √9)
Lösung

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